Учился в Московском Государственном университете имени М. В. Ломоносова на факультете «Журналистика». Позднее Антон окончил Высшие курсы сценаристов и режиссеров.
До того как стать режиссером, Антон работал на телевидении в программе «Дачники», журналистом в «Русском телеграфе», «Коммерсанте» и «Газете». На протяжении нескольких лет Бильжо работал копирайтером в рекламном агентстве «McCann Erickson».
В 2012 году Антон начал снимать рекламные ролики, короткометражные фильмы, а также писать сценарии. Один из сценариев режиссера «Аттракционы Навуходоноса» был опубликован в журнале «Искусство кино» в марте 2012 года.
В 2016 году Бильжо снял свой дебютный полнометражный фильм «Рыба- мечта», который был показан на кинофестивале «Кинотавр» в рамках «Основной конкурсной программы».
Следующей полнометражной работой режиссера стала картина «Амбивалентность», которая была показана на XI Международном кинофестивале «Северный ветер» и на 26-м кинофестивале «Окно в Европу».
Антон Бильжо также является автором романов «Капсула бессмертия», «Поза трупа» и «Где сходятся ветки», выпущенных издательством «ЭКСМО».